1+2+3+4+5+6+.... =?

     Nah, masih sama dengan kasus deret. Kali ini deretnya kalo dilihat sekilas pasti divergen kenapa? karena emang deret ini adalah jumlah bilangan asli, seperti yang udah lu ketahui di SMP nilai deret ke-n dari suatu deret divergen adalah:

     Memang masuk akal ya kalo jumlah dari bilangan asli itu adalah tak hingga, dilihat dari manapun ini masuk akal kok, dimana deretnya divergen pula, pastilah gk punya hasil akhir yang tertentu, bukannya begitu? tapi nilai tak hingga benar2 gak valid di dunia nyata. Kok bisa? kalo lu belajar teori string dalam fisika teoritis, lu bakalan pake nih jumlah semua bilangan asli, dan lu tau berapa hasil yang dipake? -1/12 broooooooo. "Ah ngaco lu, mana mungkin jumlah bilangan asli hasilnya pecahan, ada 12nya negatif pula, padahal kan ini positif smua?" pasti lu tanya gitu!, tapi masih inget sama deret Grandi kan? "Kalo Grandi mah, masih masuk akal, soalnya kan Grandi hasil akhirnya positif dan diambil rata2nya!" Nah, makanya kita buktiin pake cara yg sederhana.

     Nah, terbukti kan kalo hasilnya -1/12? Dan itu nyata!!!! memang ginilah yang alam ini inginkan wkwkwkw, ini valid pada teori string!

Sumber:

Numberphile

Baca Selengkapnya »

Deret Grandi 1-1+1-1+....

     Jika ditanya berapa nilai dari 1-1+1-1+...... yang ujungnya tak diketahui? pasti lu pada sering jawab "0" karena deret tersebut bisa disederhanakan jadi  0+0+0+... atau bisa aja lu jawab "1" karena deret tersebut bisa disederhanakan jadi 1 - (1-1) - (1-1) - .... jadinya 1-0-0-0-..., nah lalu mana yang bener? keduanya bener kok! Lho kok bisa? jadi gini jawaban 1 dan 0 itu bener2 relatif pada angka yang terakhir, apakah 1 atau -1. Jika angka yang terakhir itu 1, maka jawabnya adalah 1, jika angka yang terakhir adalah -1, berarti jawabnya adalah nol. Lalu, gimana kalo deret itu "bener2 tak hingga"? dalam artian, kita gak tau angka terakhir dari deret itu! bisa-bisa hasil dari deret ini menjadi tak terdefinisi dengan mengubah 1-1+1-1+... menjadi (1+1+1+1+....)-(1+1+1+...) = ∞-∞ =??? tak terdefinisi!!! Nah, Hal ini udah dihitung sama seseorang yang namanya pak Guido Grandi seperti berikut:

     Nah, gimana? jawabnya 1/2 tuh! gimana perasaan lo? Pasti penuh pertanyaan kan? mana mungkin 1-1+1-1+... = 1/2 padahal deret itu gak ada sama sekali angka 2 apalagi pecahan dan hasil akhirnya pecahan. Pasti sakit banget kan? wkwkwkwk. Nah, ada cara lain untuk membuktikan kalo 1-1+1-1+...=1/2. Nah, kalo deret itu hasil tak hingganya dapat diketahui kan berarti deret itu adalah deret yang konvergen, jadi kalau deret itu bener2 konvergen bisa dilakukan penjumlahan parsial deretnya! Caranya gampang kok cuma rata2 doang!

     Gimana? walaupun pake jumlahan parsial, semakin besar n maka hasilnya akan semakin mendekati 1/2. Masih gk percaya kan? Kenyataan emang ribet men, tapi emang begini kejadiannya dan ini bener2 terbuktinya begini, wkwkwkwkw.

Sumber:
Numberphile

Baca Selengkapnya »

Turunan Invers Trigonometri: Turunan arcsin(x/a)

     Nah, setiap melakukan turunan invers trigonometri, alangkah gampangnya untuk membuat suatu gambaran segitiga siku-siku seperti berikut:

     Dengan memisalkan salah satu sudul lancipnya adalah θ, maka didapatkan sinθ=x/a, dan θ = arcsin(x/a), dengan memisalkan u=x/a , maka du =dx/a, sehingga

Sumber:

Schaum's outline Series of Calculus: Frank Ayrez,dkk

Baca Selengkapnya »

Penyelesaian SPL dengan Metode Cramer

     Kalau mau penyelesaikan SPL dengan metode invers matriks atau reduksi Gauss-Jordan terlalu rumit, dan terlalu bosan untuk menggunakan eliminasi substitusi aljabar biasa, maka metode Cramer inilah yang paling patut lu coba. Metode cramer cukup sederhana, yaitu untuk mencari solusinya cuma pake perbandingan antara determinan hasil substitusi dari hasil dengan determinan matriks fungsinya aja kok. Caranya untuk mencari solusi dari variabel X₁ caranya cuma mengganti semua bilangan pada matriks fungsi yang mengandung variabel x (bagian kolom) dengan matriks hasil. Atau bisa ditulis:

     Sebagai contoh:

Sumber:

Buku Ajar Aljabar Linier: Yulian Sibaroni.

Elementary Linear Akgebra: Howard Anton, dkk.

Baca Selengkapnya »

Penyelesaian SPL dengan Eliminasi Gauss-Jordan

     Penyelesaian SPL dengan matriks seperti di post gw sebelumnya terlihat sangat ribet ya, coba bayangin, gimana caramya bikin invers kalo matriks perseginya besar? pasti bakalan butuh banyak waktu buat nyari minor kofaktornya. Nah, dengan itu makanya digunakan eliminasi Gauss-Jordan. Pada proses eliminasi operasi-operasi yang dipake disebut operasi elementer yaitu:
a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol
b. Menukarkan dua buah baris
c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris yang lain
     Nah melakukan eliminasi ini pastinya memiliki tujuan kan? Jadi, tujuan dari eliminasi ini adalah untuk mendapatkan matriks eselon reduksi. Hewan apaan tuh matriks eselon reduksi? Matriks eselon reduksi memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
1. Pada setiap baris, elemen yang paling awal selain nol haruslah bernilai satu dan satu ini disebut satu utama.
2. Jika ada baris yang isinya nol maka baris itu ditaruh dibagian terbawah.
3. Jika ada dua baris yang berurutan, maka nilai satu utama baris yang lebih bawah akan menjorok ke kanan.
     Apabila suatu matriks memenuhi ketiga syarat diatas maka matriks tersebut dinamakan matriks eselon baris saja. Sedangkan jika memenuhi satu yarat lagi, yaitu syarat keempat:
4. Pada satu kolom yang mengandung satu utama, pasti memiliki angka nol ditempat lain
     Maka matriks tersebut dinamakan matriks eselon baris tereduksi. Udah paham? pasti belom wkwkwkwk. OK, gw kasih contoh:

     Matriks diatas disebut matriks eselon baris karena:
* memenuhi syarat 1 yaitu elemen paling awal adalah 1 utama
* memenuhi syarat 2 yaitu 1 utama yg diawah lebih menjorok kekanan
* memenuhi syarat 3 yaitu elemen yang paling banyak nol didepan 1 utama atau hanya nol saja ditempatkan dipaling bawah
* tidak memenuhi syarat 4 karena 1 utama di baris ke-3 tidak ada nol di kolomnya.

     Matriks diatas disebut matriks eselon baris tereduksi karena memenuhi ketiga syarat matriks eselon baris dan disetiap kolom yang mengandung 1 utama memiliki angka nol.

     Contoh cara mengeliminasi matriks menjadi matriks eselon baris atau matriks eselon baris tereduksi:

Sehingga didapatkan

x+y+2z = 9

0x + y - 7/2 z = -17/2

0x + 0y + z = 3

sehingga penyelesaian bisa didapatkan

Sumber:

Aljabar Linier Elementer: Mahmud Imrona

Aimprof08

Baca Selengkapnya »

Invers Matriks

     Invers itu apaan sih? yang namanya invers itu bisa diartikan dengan kebalikan, nah masih inget gak bedanya kebalikan sama lawan? kalo kebalikan itu jika dikalikan hasilnya adalah satu: misal 2 kebalikannya 1/2, sedangkan kalau lawan, jika dijumlahkan hasilnya nol: misal 2 lawannya -2. Nah jadi invers matriks atau kebalikan matriks itu adalah matriks yang dikalikan dengan matriks kebalikannya hasilnya akan menjadi matriks satuan atau matriks identitas. Masih inget kan matriks identitas? cek disini kalo lupa! Nah, invers matriks juga punya syarat yaitu determinan`matriks yang akan dicari inversnya tidak boleh sama dengan nol karena kalo determinan matriks sama dengan nol matriks tersebut gak punya invers atau sering disebut matriks singular.
     Secara Umum cara mencari matriks invers A adalah

     Dengan det(A) adalah determinan matriks A dan adj(A) adalah adjoint dari A yang besarnya adalah tranpos dari matriks minor kofaktor dari A. Untuk nyari matriks minor kofaktor bisa dilihat disini.
     Nah, aplikasi dalam invers matriks ini dapat digunakan sebagai penyelesaian dari SPL. Jika suatu SPL diubah kematriks, maka penyelesaian SPL dapat diketahui secara langsung:

sumber:

Cecep Anwar: Matematika Aplikasi SMA IPA XII

Baca Selengkapnya »

Determinan Matriks

a. Determinan Matriks 2x2
     Pada matriks 2x2, determinan matriks ini dapat didefinisikan sebagai selisih antara perkalian elemen diagonal utama dengan diagonal sekundernya. Determinan matriks A sering ditulis dengan det(A) atau |A|.

b. Determinan Matriks 3x3

     Pada matriks 3x3 untuk mencari determinannya bisa digunakan teorema Sarrus sebagai berikut:

     1. Copas kolom pertama dan ke dua disamping kolom ketiga.

     2. Lu hitung jumlah kali elemen di diagonal utama dan yang sejajar dengan diagonal utama. Misalkan aja, hasilnya adalah Du

     3. Dengan cara yang sama, lu itung jumlah kali elemen di diagonal sekunder dan yg sejajar dengannya. Misalkan hasilnya Ds

     4. Nah, untuk dapetin hasilnya determinan matriks 3x3 tinggal lu kurangi deh Du-Ds, kelar dah

c. Determinan Matriks nxn

     Pada sembarang matriks persegi dari 2x2 sampai nxn sebenarnya untuk mencari nilai determinan dapat digunakan dengan teorema kofaktor. Misal matriks 4x4

     1. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menghitung minor semua elemen matriks dulu. Minor elemen atau M_mn pada elemen baris ke m dan kolom ke n bisa didapatkan dengan menghitung determinan matris dimana selain kolom dan baris dari elemen mn yang digunakan. Misal untuk a₁₁ maka yang dicari adalah nilai determinan matriks selain a₁₁, a₁₂,…,a_1n, a₂₁,…,a_n1.

Kemudian dihitung determinan dari matriks minor elemennya.

     2. Kemudian dihitung nilai kofaktor semua elemen matriksnya. Kofaktor atau C­_mn adalah hasil perkalian antara negatif satu dipangkatkan jumlah kolom dan baris elemen dikalikan dengan determinan matriks minornya atau C­_mn = (-1)^m+n |M_mn|

     3. Yang terakhir nilai determinan dapat dihitung dengan persamaan 

           det(A) = |A| = a­_mn C_mn = a_mn (-1)^m+n |M_mn|

sumber:
Aimprof08

     

Baca Selengkapnya »