1+2+3+4+5+6+.... =?

     Nah, masih sama dengan kasus deret. Kali ini deretnya kalo dilihat sekilas pasti divergen kenapa? karena emang deret ini adalah jumlah bilangan asli, seperti yang udah lu ketahui di SMP nilai deret ke-n dari suatu deret divergen adalah:

     Memang masuk akal ya kalo jumlah dari bilangan asli itu adalah tak hingga, dilihat dari manapun ini masuk akal kok, dimana deretnya divergen pula, pastilah gk punya hasil akhir yang tertentu, bukannya begitu? tapi nilai tak hingga benar2 gak valid di dunia nyata. Kok bisa? kalo lu belajar teori string dalam fisika teoritis, lu bakalan pake nih jumlah semua bilangan asli, dan lu tau berapa hasil yang dipake? -1/12 broooooooo. "Ah ngaco lu, mana mungkin jumlah bilangan asli hasilnya pecahan, ada 12nya negatif pula, padahal kan ini positif smua?" pasti lu tanya gitu!, tapi masih inget sama deret Grandi kan? "Kalo Grandi mah, masih masuk akal, soalnya kan Grandi hasil akhirnya positif dan diambil rata2nya!" Nah, makanya kita buktiin pake cara yg sederhana.

     Nah, terbukti kan kalo hasilnya -1/12? Dan itu nyata!!!! memang ginilah yang alam ini inginkan wkwkwkw, ini valid pada teori string!

Sumber:

Numberphile

Baca Selengkapnya »

Deret Grandi 1-1+1-1+....

     Jika ditanya berapa nilai dari 1-1+1-1+...... yang ujungnya tak diketahui? pasti lu pada sering jawab "0" karena deret tersebut bisa disederhanakan jadi  0+0+0+... atau bisa aja lu jawab "1" karena deret tersebut bisa disederhanakan jadi 1 - (1-1) - (1-1) - .... jadinya 1-0-0-0-..., nah lalu mana yang bener? keduanya bener kok! Lho kok bisa? jadi gini jawaban 1 dan 0 itu bener2 relatif pada angka yang terakhir, apakah 1 atau -1. Jika angka yang terakhir itu 1, maka jawabnya adalah 1, jika angka yang terakhir adalah -1, berarti jawabnya adalah nol. Lalu, gimana kalo deret itu "bener2 tak hingga"? dalam artian, kita gak tau angka terakhir dari deret itu! bisa-bisa hasil dari deret ini menjadi tak terdefinisi dengan mengubah 1-1+1-1+... menjadi (1+1+1+1+....)-(1+1+1+...) = ∞-∞ =??? tak terdefinisi!!! Nah, Hal ini udah dihitung sama seseorang yang namanya pak Guido Grandi seperti berikut:

     Nah, gimana? jawabnya 1/2 tuh! gimana perasaan lo? Pasti penuh pertanyaan kan? mana mungkin 1-1+1-1+... = 1/2 padahal deret itu gak ada sama sekali angka 2 apalagi pecahan dan hasil akhirnya pecahan. Pasti sakit banget kan? wkwkwkwk. Nah, ada cara lain untuk membuktikan kalo 1-1+1-1+...=1/2. Nah, kalo deret itu hasil tak hingganya dapat diketahui kan berarti deret itu adalah deret yang konvergen, jadi kalau deret itu bener2 konvergen bisa dilakukan penjumlahan parsial deretnya! Caranya gampang kok cuma rata2 doang!

     Gimana? walaupun pake jumlahan parsial, semakin besar n maka hasilnya akan semakin mendekati 1/2. Masih gk percaya kan? Kenyataan emang ribet men, tapi emang begini kejadiannya dan ini bener2 terbuktinya begini, wkwkwkwkw.

Sumber:
Numberphile

Baca Selengkapnya »

Turunan Invers Trigonometri: Turunan arcsin(x/a)

     Nah, setiap melakukan turunan invers trigonometri, alangkah gampangnya untuk membuat suatu gambaran segitiga siku-siku seperti berikut:

     Dengan memisalkan salah satu sudul lancipnya adalah θ, maka didapatkan sinθ=x/a, dan θ = arcsin(x/a), dengan memisalkan u=x/a , maka du =dx/a, sehingga

Sumber:

Schaum's outline Series of Calculus: Frank Ayrez,dkk

Baca Selengkapnya »

Fungsi Sepotong-potong

     Masih inget tentang materi harga mutlak kemaren? Kan kemaren gw gw tulis kalo harga mutlak itu fungsinya gak sama untuk semua x didalamnya, tapi beda2 untuk tiap x tertentu, yaitu tepatnya pada yang negatif dan positif. Nah, yang kayak gitu disebutlah fungsi sepotong-sepotong. Jadinya, fungsi sepotong-sepotong itu bisa didefinisikan kalo fungsinya itu gak selalu sama, tetapi bisa saja berbeda pada tiap saat, atau:

     Tapi ya gak selalu gitu doang sih, bisa aja ada 3 atau lebih fungsi sepotong-potong dalam f(x), atau juga selang yang dipake pada tiap bagian fungsi sepotong-potong juga bisa berbeda kok.
   

     Sumber: Diktat Kalkulus 1 ITS

Baca Selengkapnya »